Lorsqu’on étudie les variations d’une fonction, on utilise souvent un tableau de variation pour présenter de manière claire et organisée les différents éléments qui composent la fonction. Le tableau de variation permet de visualiser les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs des extremums et les variations de la fonction. Dans cet article, nous allons expliquer étape par étape comment remplir un tableau de variation pour une fonction donnée, en mettant l’accent sur les différentes étapes à suivre pour obtenir un tableau complet et correct.
Étape 1 : Déterminer les racines de la fonction
Avant de commencer à remplir un tableau de variation, il est essentiel de déterminer les racines de la fonction, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Pour ce faire, on résout l’équation f(x) = 0 en utilisant les méthodes appropriées telles que la factorisation, la méthode du discriminant pour les fonctions quadratiques, ou encore la méthode de Newton pour les fonctions plus complexes. Une fois les racines trouvées, on les place dans la première colonne du tableau de variation sous le titre “Racines”.
Étape 2 : Déterminer les signes de la dérivée de la fonction
La dérivée de la fonction permet de déterminer le sens de variation de la fonction. On étudie les signes de la dérivée sur chaque intervalle délimité par les racines de la fonction, en utilisant le test de la dérivée pour trouver les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. On place les intervalles sur la deuxième colonne du tableau de variation sous le titre “Signe de la dérivée”.
Étape 3 : Déterminer les variations de la fonction
Une fois les intervalles de croissance et de décroissance repérés, on détermine les variations de la fonction sur chaque intervalle. Pour cela, on choisit une valeur de test dans chaque intervalle et on évalue le signe de f'(x) pour déterminer si la fonction est croissante, décroissante ou constante. On reporte ces variations dans la troisième colonne du tableau de variation sous le titre “Variations de la fonction”.
Étape 4 : Déterminer les extremums de la fonction
Les extremums de la fonction correspondent aux points où la fonction change de sens de variation, c’est-à-dire les points où la fonction passe d’une croissance à une décroissance ou vice versa. Pour trouver ces extremums, on cherche les points où la dérivée s’annule en résolvant f'(x) = 0, et on détermine le sens de variation de la fonction autour de ces points en utilisant le test de la dérivée seconde. On place les extremums dans la quatrième colonne du tableau de variation sous le titre “Extremums”.
Tableau récapitulatif du remplissage d’un tableau de variation
| Racines | Signe de la dérivée | Variations de la fonction | Extremums |
|---|---|---|---|
| Valeur des racines | Signe de la dérivée sur chaque intervalle | Variations de la fonction sur chaque intervalle | Valeurs des extremums |
Dans ce tableau récapitulatif, on peut voir de manière synthétique les différentes étapes à suivre pour remplir un tableau de variation. En suivant ces étapes méthodiquement, on obtient un tableau de variation complet qui offre une vision claire des variations de la fonction étudiée.
Conclusion
En conclusion, le remplissage d’un tableau de variation nécessite une maîtrise des étapes clés de l’analyse des variations d’une fonction. En suivant les étapes détaillées dans cet article, vous serez en mesure de remplir correctement un tableau de variation pour n’importe quelle fonction, ce qui vous permettra d’obtenir une vision précise et organisée des variations de la fonction.