Définition : Equation exponentielle
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue apparaît dans l’exposant. Ce type d’équation peut être résolu en utilisant les propriétés des exponentielles. Les solutions peuvent souvent être des nombres réels ou complexes.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des équations exponentielles en fonction de la complexité de l’exposant et des termes inclus dans l’équation. Les exposants binomiaux et les valeurs absolues peuvent également apparaître dans ces équations.
Propriétés : Règles d’exponentiation
Les règles d’exponentiation sont essentielles pour résoudre les équations exponentielles. Ces règles incluent les propriétés des logarithmes, les puissances d’une même base, les propriétés des puissances négatives et des puissances nulles. Les connaissances et l’application appropriées de ces règles sont nécessaires pour résoudre avec précision les équations exponentielles.
Il est important de comprendre ces règles et de les appliquer correctement pour obtenir des solutions exactes.
Exemple 1: Résolution d’équations exponentielles
Considérons l’équation exponentielle suivante : 3 x = 9 . Pour résoudre cette équation, on peut appliquer la propriété selon laquelle si a x = b , alors x = log a (b) . Ainsi, dans notre exemple, x = log 3 (9) . En utilisant les règles de logarithme, on obtient x = 2 .
Réponse
La solution de l’équation 3 x = 9 est x = 2 .
Vérification :
Pour vérifier notre solution, nous substituons x = 2 dans l’équation originale 3 x = 9 . Nous obtenons 3 2 = 9 , ce qui est correct.
Exemple 2: Évaluation d’expressions exponentielles après la résolution d’équations exponentielles
Après avoir résolu une équation exponentielle, il est important d’évaluer l’expression exponentielle obtenue pour vérifier la cohérence de la solution. Par exemple, après avoir résolu l’équation 2 x = 8 et obtenu x = 3 , on évalue 2 3 . Cela permet de confirmer que la solution est correcte.
Réponse
L’évaluation de l’expression 2 3 donne 8 , ce qui confirme la solution x = 3 .
Exemple 3: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux
Considérons l’équation exponentielle (2x-1) 2 = 16 . Pour résoudre cette équation, on peut utiliser la propriété selon laquelle si a n = b , alors a = ±√(b) . Ainsi, dans notre exemple, 2x-1 = ±√(16) , ce qui donne deux équations à résoudre : 2x-1 = 4 et 2x-1 = -4 . En résolvant chacune de ces équations, on trouve x = 5 et x = -3 .
Réponse
Les solutions de l’équation (2x-1) 2 = 16 sont x = 5 et x = -3 .
Exemple 4: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux
Considérons l’équation exponentielle (3x+2) 3 = 81 . En utilisant la propriété de résolution des équations exponentielles avec exposants binomiaux, nous pouvons écrire 3x+2 = 3 , puis résoudre pour obtenir x = 1 .
Réponse
La solution de l’équation (3x+2) 3 = 81 est x = 1 .
Vérification :
En substituant x = 1 dans l’équation initiale, nous obtenons (3(1)+2) 3 = 81 , ce qui est correct.
Exemple 5: Résolution d’équations exponentielles comportant des valeurs absolues grâces aux règles d’exponentiation
Les équations exponentielles comportant des valeurs absolues peuvent être résolues en appliquant les règles d’exponentiation et en prenant en compte les deux cas possibles donnés par la valeur absolue. Par exemple, pour résoudre |2 x-3 | = 8 , nous devons traiter séparément les cas 2 x-3 = 8 et 2 x-3 = -8 pour obtenir les solutions.
Réponse
Les solutions de l’équation |2 x-3 | = 8 sont x = 5 et x = -1 .
Exemple 6: Résolution d’une équation exponentielle avec des exposants binomiaux
Considérons l’équation exponentielle (4x-1)(4x+1) = 0 . En appliquant la propriété de multiplication nulle, nous pouvons trouver les solutions x = 1/4 et x = -1/4 .
Réponse
Les solutions de l’équation (4x-1)(4x+1) = 0 sont x = 1/4 et x = -1/4 .
Vérification :
En substituant x = 1/4 et x = -1/4 dans l’équation initiale, nous pouvons vérifier que les solutions sont correctes.
Points Clés
Les points clés à retenir pour résoudre efficacement des équations exponentielles sont :
- Compréhension des règles d’exponentiation
- Gestion des cas avec des exposants binomiaux
- Évaluation des solutions pour vérification
| Exemple | Equation | Solutions |
|---|---|---|
| 1 | 3 x = 9 | x = 2 |
| 2 | (2x-1) 2 = 16 | x = 5, x = -3 |
| 3 | |2 x-3 | = 8 | x = 5, x = -1 |
[‘Prochaines étapes’] Pour aller plus loin dans la résolution d’équations exponentielles, il est recommandé de pratiquer davantage d’exercices couvrant différents types d’équations. Il est également utile d’étudier les applications des équations exponentielles dans divers domaines tels que la croissance exponentielle, la radioactivité, et les phénomènes naturels.
FAQ
Comment faire disparaître un exposant ?
Un exposant peut être éliminé en prenant la racine correspondante à l’exposant. Par exemple, pour éliminer un exposant de 2 (carré), on prend la racine carrée. Pour un exposant de 3 (cube), on prend la racine cubique, et ainsi de suite.
Comment simplifier une puissance dans une équation ?
Pour simplifier une puissance dans une équation, il faut utiliser les lois des exposants. Il s’agit notamment de l’addition des exposants quand on multiplie des termes de même base, la soustraction des exposants quand on divise des termes de même base et la multiplication des exposants lorsqu’on élève une puissance à une autre puissance.
Comment faire descendre une puissance n ?
Pour faire descendre une puissance n, il faut diviser le terme par sa base. Par exemple, si nous avons x^n, pour faire descendre la puissance, nous la divisons par x pour obtenir x^(n-1). Si n était un exponent positif, il deviendra négatif et inversement.
Comment trouver l’exposant dans une équation ?
L’exposant dans une équation est le nombre positionné en haut à droite de la base. Si l’équation est sous forme simplifiée, l’exposant est généralement le seul nombre qui se trouve en dessus de la ligne du texte. Dans n^m = x, m est l’exposant.