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La résolution graphique d’une équation du second degré est une méthode visuelle qui permet de trouver les solutions de l’équation en observant le graphe de la fonction associée. Cette approche, bien que moins précise que la méthode algébrique, offre une représentation intuitive des solutions et permet de visualiser le comportement de la fonction associée.
Définition : Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2, c’est-à-dire une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes avec a ≠ 0. La résolution d’une équation du second degré consiste à trouver les valeurs de la variable qui satisfont l’équation.
La méthode de résolution graphique consiste à tracer le graphe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + c et à trouver les points d’intersection avec l’axe des abscisses, qui correspondent aux solutions de l’équation.
Propriétés : Graphiques des fonctions du second degré
Les fonctions du second degré sont des fonctions polynomiales de degré 2, dont la représentation graphique est une parabole . La forme générale de ces fonctions est f(x) = ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.
La parabole associée à une fonction du second degré peut s’ouvrir vers le haut si a > 0, ou vers le bas si a < 0. Son sommet a pour ordonnée -Δ/4a, où Δ = b 2 – 4ac est le discriminant de l’équation.
Exemple 1: Résoudre graphiquement une équation du second degré
Considérons l’équation x 2 – 4x + 3 = 0. Pour la résoudre graphiquement, nous commençons par tracer le graphe de la fonction f(x) = x 2 – 4x + 3. En observant la parabole, nous remarquons qu’elle intersecte l’axe des abscisses aux points (1, 0) et (3, 0).
Réponse
Les solutions de l’équation x 2 – 4x + 3 = 0 sont donc x = 1 et x = 3. Nous avons ainsi trouvé les racines de l’équation en utilisant une méthode graphique.
Exemple 2: Résoudre graphiquement une équation du second degré
Reprenons l’équation 2x 2 – 5x + 2 = 0. En traçant le graphe de la fonction f(x) = 2x 2 – 5x + 2, nous pouvons observer que la parabole intersecte l’axe des abscisses aux points (0.5, 0) et (2, 0).
Réponse
Les solutions de l’équation 2x 2 – 5x + 2 = 0 sont ainsi x = 0.5 et x = 2. La méthode graphique nous a permis de déterminer les valeurs de x qui satisfont l’équation.
Exemple 3: Résoudre graphiquement une équation du second degré
Explorons maintenant l’équation x 2 + 2x + 1 = 0. Le graphe de la fonction f(x) = x 2 + 2x + 1 correspond à une parabole qui touche l’axe des abscisses en un unique point, appelé le point de tangence .
Réponse
Cela nous indique que l’équation x 2 + 2x + 1 = 0 admet une unique solution, x = -1, de par sa nature géométrique sur le graphe de la fonction associée.
Exemple 4: Tracer le graphique d’une fonction du second degré pour résoudre une équation
Imaginons la fonction f(x) = -3x 2 + 6x + 9. En traçant son graphe, nous observons une parabole qui s’ouvre vers le bas. Son sommet est situé en (1, 12), ce qui nous donne des indications sur le comportement de l’équation associée.
Réponse
La résolution graphique de l’équation -3x 2 + 6x + 9 = 0 nous montre que cette équation admet deux solutions, x = 1 et x = 3. Cela correspond aux abscisses des points d’intersection entre la parabole et l’axe des abscisses.
Exemple 5: Reconnaître le graphique d’une fonction du second degré en résolvant l’équation associée par factorisation
Considérons l’équation x 2 – 6x + 9 = 0. En factorisant cette équation, nous obtenons (x – 3) 2 = 0. La fonction associée est donc f(x) = (x – 3) 2 , qui correspond à une parabole dans laquelle le point (3, 0) est le sommet.
Réponse
L’équation x 2 – 6x + 9 = 0 admet une unique solution, x = 3, comme indiqué par le graphe de la fonction du second degré associée. La méthode graphique nous confirme la nature de l’équation comme une identité remarquable.
Exemple 6: Réarrangement et résolution graphique d’une équation du second degré
Observons l’équation 4x 2 – 16 = 0. Après réarrangement, nous obtenons 4(x 2 – 4) = 0, puis x 2 – 4 = 0. La fonction associée est f(x) = x 2 – 4, dont le graphe est une parabole s’ouvrant vers le haut.
Réponse
La résolution graphique nous montre que les solutions de l’équation 4x 2 – 16 = 0 sont x = -2 et x = 2. Le graphe de la fonction f(x) = x 2 – 4 nous offre une représentation visuelle de ces solutions.
Exemple 7: Résoudre graphiquement deux équations du second degré qui diffèrent par une constante
Considérons les équations x 2 – 4x + 3 = 0 et x 2 – 4x + 7 = 0. En traçant les graphes respectifs des fonctions associées, nous pouvons observer les différences dans la position des paraboles et des points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Réponse
La méthode graphique permet de constater que les deux équations ont des solutions distinctes, même si elles partagent une partie de leur forme. Cela met en lumière l’importance de l’observation graphique pour saisir les nuances entre les équations du second degré.
Exemple 8: Résoudre graphiquement une équation du second degré à partir d’un problème de la vie courante
Imaginons un problème qui peut être modélisé par l’équation x 2 – 10x + 24 = 0, où x représente une quantité inconnue. En traçant le graphe de la fonction associée, nous pouvons obtenir des indications visuelles sur les solutions du problème représenté par l’équation.
Réponse
La représentation graphique de l’équation x 2 – 10x + 24 = 0 nous permet de déterminer les valeurs de x qui résolvent le problème initial. La méthode graphique offre ainsi une approche intuitive pour résoudre des problèmes concrets à l’aide d’équations du second degré.
Points clés
La résolution graphique des équations du second degré offre une approche visuelle pour déterminer les solutions de ces équations. En traçant le graphe de la fonction associée, on peut observer les points d’intersection avec l’axe des abscisses, qui représentent les solutions de l’équation. Cette méthode permet d’avoir une représentation géométrique des solutions et offre une vision intuitive du comportement des fonctions du second degré.
| Exemple | Équation | Solutions |
|---|---|---|
| Exemple 1 | x 2 – 4x + 3 = 0 | x = 1 et x = 3 |
| Exemple 2 | 2x 2 – 5x + 2 = 0 | x = 0.5 et x = 2 |
| Exemple 3 | x 2 + 2x + 1 = 0 | x = -1 |
En conclusion, la résolution graphique des équations du second degré constitue une méthode complémentaire à la résolution algébrique. Elle offre une visualisation des solutions et permet de mieux appréhender le comportement des fonctions associées. Cette approche peut également être utile pour résoudre des problèmes concrets en modélisant ces problèmes par des équations du second degré.
FAQ
Comment résoudre une équation par la méthode graphique ?
Pour résoudre une équation par la méthode graphique, il faut d’abord traduire l’équation en une fonction graphique. Ensuite, on trace la courbe correspondante sur un graphique. La ou les solutions de l’équation correspondent alors aux points où la courbe coupe l’axe des x.
Comment résoudre graphiquement une équation f x )= 0 ?
Pour résoudre graphiquement une équation f(x) = 0, il faut d’abord tracer le graphique de la fonction f(x). Les solutions de l’équation correspondent alors aux points où le graphique traverse l’axe des x. Chaque intersection du graphique avec l’axe des x représente une solution de l’équation.
Comment résoudre graphiquement des équations et des inéquations ?
Pour résoudre graphiquement des équations ou des inéquations, on doit d’abord tracer les courbes ou les lignes représentant chaque coté de l’équation ou de l’inéquation sur un même graphique. Les solutions de l’équation correspondent aux points où les courbes se croisent (où les y sont égaux), tandis que les solutions de l’inéquation correspondent aux zones entre ou au-delà des courbes, selon les circonstances (là où une courbe est supérieure ou inférieure à l’autre).
Comment résoudre une équation du second degré graphiquement ?
Pour résoudre une équation du second degré graphiquement, on trace la parabole correspondant à l’équation donnée sur un plan cartésien. Les solutions de l’équation sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des x. Si la parabole touche l’axe des x en un seul point, l’équation a une unique solution appelée racine double.